Работа с алгоритмами типа Арнольди. Часть 3. Обучение с использованием машины

В предыдущих частях этой серии статей мы рассмотрели основные принципы алгоритмов типа Арнольди и их реализацию на Python. В этой части мы погрузимся в мир обучения с использованием машины, где алгоритмы типа Арнольди находят множество применений.

Оптимизация функций и стохастический градиентный спуск

Одной из наиболее распространённых задач в машинном обучении является оптимизация функции. Это может быть функция потерь, которую мы хотим минимизировать, или функция полезности, которую мы хотим максимизировать. Одним из наиболее распространённых методов оптимизации является стохастический градиентный спуск (SGD), который представляет собой итеративный метод, обновляющий параметры модели на основе градиента функции на каждом шаге.

Итерации SGD с Арнольди

Алгоритмы типа Арнольди могут использоваться для ускорения сходимости SGD. Основополагающей идеей является использование ортогональных подпространств Арнольди для построения аппроксимаций к градиенту функции потерь. Это приводит к более точным обновлениям параметров на каждом шаге SGD, что может значительно повысить эффективность оптимизации.

Псевдокод итераций SGD с Арнольди:

инициализировать модель
инициализировать подпространство Арнольди с одним базисным вектором
повторять:
  вычислить градиент функции потерь
  спроектировать градиент на подпространство Арнольди
  обновить параметры модели с помощью спроектированного градиента
  обновить подпространство Арнольди с помощью текущего градиента

Решение линейных уравнений

Алгоритмы типа Арнольди также можно использовать для решения линейных уравнений. Эта задача часто возникает в машинном обучении, например, при решении систем уравнений, которые возникают в линейной регрессии.

Алгоритм Лоубина-Арнольди

Алгоритм Лоубина-Арнольди — это итеративный метод, который использует алгоритм типа Арнольди для решения линейной системы уравнений вида $$Ax = b.$$

Алгоритм вычисляет последовательность ортогональных подпространств Арнольди и использует их для построения приближений к решению $$x$$.

Псевдокод алгоритма Лоубина-Арнольди:

инициализировать подпространство Арнольди с одним базисным вектором
повторять:
  применить умножение матрицы A к последнему базисному вектору
  ортогонализировать новый вектор к подпространству Арнольди
  обновить подпространство Арнольди с помощью нового ортогонального вектора
  обновить приближение к решению $$x$$

Заключение

Алгоритмы типа Арнольди являются мощными инструментами, которые нашли множество применений в машинном обучении. Они могут использоваться для ускорения оптимизации функций, решения линейных уравнений и выполнения различных других задач. В этой части мы рассмотрели некоторые из наиболее важных приложений алгоритмов типа Арнольди в машинном обучении.