Введение в вероятностный главный компонентный анализ: модель, обучение и применение

Введение в вероятностный главный компонентный анализ (Probabilistic PCA), Часть 9

Введение

Вероятностный главный компонентный анализ (Probabilistic PCA, PPCA) - это генеративная модель, относящаяся к семейству латентных переменных, которая стремится наложить на данные скрытую линейную структуру. Это расширение модели главного компонентного анализа (Principal Component Analysis, PCA), которое предполагает, что наблюдаемые данные порождаются линейной комбинацией скрытых латентных переменных, для которых предполагается нормальное распределение.

Модель PPCA

Модель PPCA предполагает, что наблюдаемые данные X являются линейной комбинацией k скрытых латентных переменных Z, которые подчиняются многомерному нормальному распределению:

**X** = **W** **Z** + **\mu** + **\epsilon**

где:

W - матрица весов размера d × k, которая определяет линейную проекцию латентных переменных на наблюдаемые данные.
Z - k-мерный вектор латентных переменных, подчиняющихся многомерному нормальному распределению с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей.
\mu - d-мерный вектор средних значений наблюдаемых данных.
\epsilon - d-мерный вектор гауссовского шума с нулевым средним и диагональной ковариационной матрицей \Sigma.

Обучение PPCA

Обычно параметры модели PPCA, W, \mu и \Sigma, оцениваются с использованием алгоритма максимального правдоподобия (Maximum Likelihood Estimation, MLE). Цель MLE заключается в поиске параметров, которые максимизируют вероятность наблюдения данных X.

Функция правдоподобия для модели PPCA определяется следующим образом:

p(**X** | **W**, **\mu**, **\Sigma**) = (2\pi)**(-d/2) |**\Sigma**|**(-1/2)** exp(-1/2 (**X** - **W** **Z** - **\mu**)T **\Sigma**-1 (**X** - **W** **Z** - **\mu**))

Для решения задачи максимизации правдоподобия используется алгоритм итеративного совершенствования EM (Expectation-Maximization). EM-алгоритм представляет собой итерационный подход, который попеременно выполняет следующие шаги:

Шаг E (ожидание): Оценить условное распределение латентных переменных Z при заданных наблюдаемых данных X и текущих оценках параметров.
Шаг M (максимизация): Обновить оценки параметров W, \mu и \Sigma путем максимизации функции правдоподобия с учетом условного распределения латентных переменных, полученного на шаге E.

Применение PPCA

PPCA имеет широкий спектр применений, включая:

Снижение размерности: PPCA может использоваться для снижения размерности данных до скрытого подпространства более низкой размерности.
Обнаружение аномалий: PPCA можно использовать для обнаружения аномальных точек в данных, поскольку аномалии будут находиться дальше всего от скрытого подпространства.
Визуализация: PPCA можно использовать для визуализации данных путем проецирования их в скрытое подпространство.
Моделирование: PPCA можно использовать для создания генеративных моделей данных.

Заключение

Вероятностный главный компонентный анализ является мощной генеративной моделью, которая позволяет захватить скрытую линейную структуру в данных. Благодаря своим многочисленным приложениям и относительно простой реализации PPCA является ценным инструментом для широкого круга задач машинного обучения.