Метод ядра Хилберта-Шмидта в теории Бомбиери-Виноградова: Разбиение и аппроксимация

Понимание теоремы Бомбиери-Виноградова. Часть 11: Ядро машинного обучения

Введение

Теорема Бомбиери-Виноградова является важным результатом в аналитической теории чисел, который обеспечивает верхние оценки для сумм экспоненциальных сумм над конечными полями. В этой серии статей мы изучаем доказательство этой теоремы и ее связь с машинным обучением.

В предыдущих частях этой серии мы рассмотрели основные идеи, лежащие в основе доказательства, в том числе применение теоремы о наборе хаоса и границ Фишера. В этой статье мы углубимся в ядро доказательства, которое связано с использованием машинного обучения, а именно с методом ядра Хилберта-Шмидта.

Метод ядра Хилберта-Шмидта

Метод ядра Хилберта-Шмидта заключается в аппроксимации экспоненциальной суммы с помощью ядра Хилберта-Шмидта (HS-ядра):

$$H(x, y) = 1 - \frac{\sin\pi(x-y)}{\pi(x-y)}$$

где x и y являются элементами конечного поля. Это ядро является вещественнозначной, неотрицательной и симметричной функцией.

Ключевым свойством HS-ядра является то, что оно является положительно полуопределенным, что означает, что Gram-матрица для любого набора точек в конечном поле, по крайней мере, положительно полуопределена.

Использование машинного обучения

В контексте доказательства теоремы Бомбиери-Виноградова метод ядра Хилберта-Шмидта используется для разбиения экспоненциальной суммы на сумму меньших экспоненциальных сумм, каждая из которых может быть аппроксимирована HS-ядром.

Рассмотрим экспоненциальную сумму следующего вида:

$$S = \sum_{x \in F_q} e^{2\pi i f(x)}$$

где F_q - конечное поле порядка q, а f(x) - полином над F_q.

Используя метод ядра Хилберта-Шмидта, можно разбить S на сумму меньших экспоненциальных сумм следующим образом:

$$S = \sum_{x \in F_q} \left( \sum_{y \in F_q} H(x - y) e^{2\pi i f(y)} \right)$$

Каждая внутренняя сумма теперь представляет собой экспоненциальную сумму меньшего размера, которая может быть аппроксимирована HS-ядром.

Оценка аппроксимации

Грам-матрица HS-ядра для набора точек \{x_1, \ldots, x_n\} в F_q имеет следующий вид:

G = [H(x_i - x_j)]_{i,j=1}^n

Поскольку HS-ядро положительно полуопределено, то матрица G также положительно полуопределена. Следовательно, ее собственные значения действительны и больше или равны нулю.

Оценки собственных значений матрицы G дают ключ к оценке аппроксимации экспоненциальной суммы с помощью HS-ядра. Эти оценки, в конечном итоге, приводят к верхним оценкам для выражений, включающих экспоненциальные суммы, как в доказательстве теоремы Бомбиери-Виноградова.

Заключение

Метод ядра Хилберта-Шмидта является важным инструментом в доказательстве теоремы Бомбиери-Виноградова. Он позволяет разбить экспоненциальную сумму на меньшие суммы, которые могут быть аппроксимированы. Оценки аппроксимации с использованием собственных значений Gram-матрицы обеспечивают основу для дальнейших верхних оценок, необходимых для доказательства теоремы.