Многомерное нормальное распределение: определение, свойства и применение

Многомерное нормальное распределение

Многомерное нормальное распределение, также известное как гауссово распределение, является обобщением одномерного нормального распределения на многомерный случай. Это фундаментальное распределение вероятностей, которое широко используется в статистике, машинном обучении и других областях, связанных с моделированием и анализом данных.

Плотность вероятности

Плотность вероятности многомерного нормального распределения задается следующим образом:

f(x) = (2π)^(-k/2) |Σ|^(-1/2) exp(-1/2 (x-μ)^T Σ^-1 (x-μ))

где:

x - многомерный вектор наблюдений (состоящий из k элементов)
μ - вектор средних значений (состоящий из k элементов)
Σ - ковариационная матрица (квадратная матрица размера k×k)

Свойства

Многомерное нормальное распределение обладает следующими свойствами:

Симметрия: Оно симметрично относительно вектора средних значений μ.
Одномодальность: Оно имеет единственный максимум в точке μ.
Эллипсоидальные контуры: Контуры равной плотности являются эллипсоидами в k-мерном пространстве.
Независимость: Если ковариационная матрица Σ является диагональной, то компоненты вектора x независимы друг от друга.

Применение

Многомерное нормальное распределение широко используется в различных областях, включая:

Моделирование данных: Оно может использоваться для моделирования многомерных данных, таких как данные изображений, временные ряды и другие данные.
Классификация: Оно может использоваться для классификации данных путем разделения их на различные классы, которые моделируются различными многомерными нормальными распределениями.
Кластеризация: Оно может использоваться для кластеризации данных, находя группы похожих точек данных.
Заполнение пропусков: Оно может использоваться для заполнения пропущенных значений в наборе данных на основе значений других переменных.

Генерация случайных величин

Для генерации случайных величин, подчиняющихся многомерному нормальному распределению, с использованием метода Box-Muller можно выполнить следующие шаги:

Сгенерировать k независимых стандартных нормальных случайных величин u1, u2, ..., uk.
Вычислить z = Σ^(1/2) * u, где Σ^(1/2) - квадратный корень ковариационной матрицы.
Вернуть x = μ + z в качестве случайной величины, подчиняющейся многомерному нормальному распределению.